Dès le départ, l’algèbre s’affirme comme nouveau continent mathématique, dialectisant les antiques continents arithmétique (qui calcule ses propositions à la lettre-chiffre) et géométrique (qui démontre ses propositions axiomatiquement), sans se contenter donc de fournir à l’État abbâsside de nouvelles techniques de gestion en matière de cadastres, d’héritages, d’impôts, de navigations, de géolocalisations, etc. En imbriquant d’une nouvelle manière calculs (arithmétiques) et démonstrations (géométriques), l’algèbre va établir un pont entre les deux antiques continents mathématiques, radicalement disjoints depuis que les Grecs ont découvert – crise des irrationnels - la scission radicale des quantités (nombres arithmétiques d’un côté, grandeurs géométriques de l’autre).

Schématiquement, voir le développement parallèle d’une arithmétisation de l’algèbre (d’Al-Karajî à Al-Samaw’al) et d’une géométrisation de l’algèbre (d’Abû Kâmil à Al-Khayyâmî)

Pour devenir ce nouveau continent contribuant à l’unification générale des mathématiques, l’algèbre va s’émanciper de son fonctionnement langagier primitif et se doter d’un mode propre de rationalité, fondé sur l’univocité d’un calcul à la lettre (« calcul de la poussière ») qui ne dépende plus de l’équivocité propre à la langue commune.

Cette nécessité d’univocité non langagière est pour l’algèbre d’autant plus vive que son berceau langagier (la langue arabe du IX° siècle, étendue grâce aux adjonctions produites au VIII° siècle par al-Khâlil puis Sîbawayhi) s’avère, à différents titres, cultiver l’équivoque dialectique : mots à double sens nommant l’unité de contraires plutôt que leur division (les ‘ //aDdâd//), affirmation de la singularité par contraposition exceptionnelle sur fond de néant (« //lâ//… ‘ //illâ//… » : « nul… sauf… »), distinction grammaticale des types de mots (« nomsverbes-particules ») par leurs interrelations syntaxiques formelles plutôt que par leurs fonctions sémantiques, rhétorique « sémitique » cultivant la symétrie circulaire plutôt que la linéarité irréversible de la rhétorique grecque, etc.

L’algèbre va progressivement (IX°-XII° siècles) s’émanciper de cette discursivité linguale de différentes manières :

• en étendant le monde mathématique par adjonction immanente : voir l’invention par al-Khawârizmî de nouveaux mots, de nouvelles nominations et d’un nouveau type discursif d’énoncés (relevant de la linéarité déductive) ;
• en bricolant sa propre écriture (au gré de lettres s’émancipant des chiffres) apte à mettre en oeuvre son nouveau mode de calcul (calcul « aveugle » sur l’inconnu) ;
• en dialectisant ce calcul de type nouveau à des démonstrations également de type nouveau : voir le bricolage de démonstrations algébriques circulant entre arithmétique et géométrie et violant ainsi allègrement le vieux dogme aristotélicien : « On ne peut, dans la démonstration, passer d’un genre à un autre : on ne peut pas, par exemple, prouver une proposition géométrique par l’arithmétique. ») en sorte de mettre au jour une figure proprement algébrique de la rationalité mathématique.

Cet exposé ne se voudrait pas de vaine érudition : il avancera des hypothèses de travail plutôt qu’il ne communiquera de savants résultats. Cet exposé s’inscrit en effet dans un vaste programme de travail, celui d’une intellectualité musicale se souciant de faire entrer la grande langue arabe littéraire dans la musique contemporaine 9 en sorte d’adjoindre des hétérophonies (tant linguales que musicales) aptes, sous le nom général de terza pratica, à étendre le monde-Musique.